中学3年生になったばかりの中学生を対象としたものなので、中学1・2年の総復習として今の学力を見るのに最適なテストになります。
今までしっかり学習を積み上げてきた人とそうでない人でグッと差が出るよ
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コーチ
中学2年分の範囲だからね、これは積み上げてないと大変だ
このページのもくじ
数学の出題傾向
基本的な問題の大問1だけで5割近くの点数があります。
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
1 | 文字式:引き算(4点) | ★ |
2 | 四則演算(4点) | ★ |
3 | 文字式:割り算(4点) | ★ |
4 | 文字式:代入(4点) | ★ |
5 | 因数分解(4点) | ★ |
6 | 連立方程式(4点) | ★★ |
7 | 比例:y=ax(4点) | ★ |
8 | 表と割合(4点) | ★ |
9 | 多角形:外角(4点) | ★ |
10 | おうぎ形:孤の長さ(4点) | ★ |
11① | 資料の活用:格子点の個数(4点) | ★★ |
11② | 資料の活用:関係式と説明(4点) | ★ |
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 確率:サイコロ(4点) | ★ |
⑵ | 作図:垂線・円の半径(5点) | ★★ |
⑶ | 式の計算:線分図(4点) | ★★ |
⑷ | 空間図形(4点) | ★★★★ |
⑸ ① | 連立方程式(3点) | ★★ |
⑸ ② | 連立方程式(3点) | ★★ |
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 一次関数:傾き(5点) | ★ |
⑵ | 一次関数:応用(6点) | ★★★★ |
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 合同:証明(7点) | ★★★ |
⑵ ① | 平面図形:角度(5点) | ★ |
⑵ ② | 平面図形:面積(5点) | ★★★★ |
大問1
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
1 | 文字式:引き算(4点) | ★ |
2 | 四則演算(4点) | ★ |
3 | 文字式:割り算(4点) | ★ |
4 | 文字式:代入(4点) | ★ |
5 | 因数分解(4点) | ★ |
6 | 連立方程式(4点) | ★★ |
7 | 比例:y=ax(4点) | ★ |
8 | 表と割合(4点) | ★ |
9 | 多角形:外角(4点) | ★ |
10 | おうぎ形:孤の長さ(4点) | ★ |
11① | 資料の活用:格子点の個数(4点) | ★★ |
11② | 資料の活用:関係式と説明(4点) | ★ |
確実に解ける問題を正解することが重要だよ
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コーチ
目指す点数によって確実に正解すべき問題を教えるね
目安 | 正解すべき問題 |
---|---|
20〜40点 | ⑴、⑵、⑶、⑷、⑼、⑽ |
41〜60点 | ⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑼、⑽ |
61〜80点 | 全問 |
81〜100点 | 全問 |
20〜60点を目指す人は解ける問題を見極めて、確実に正解するようにしましょう。
さらに上の点数を目指す人は、ここは全問正解が必須です。資料の読み取りを正確にできるように、慣れておく必要があります。
特に資料の読み取りでは、①が分かれば②はすぐに解けることが多いので、ある意味ボーナス問題です。
⑴ 文字式(引き算)
イメージ
5x+2x
教科書でも出てくるような基本的な問題。
みたいな基礎中の基礎問題なので、確実にとるようにしましょう。
⑵ 四則演算
イメージ
5×(-4)+3
小学生でも解けるような問題。マイナスが付いているが計算は掛け算と足し算、引き算のみ。
マイナスの値があるので、気をつけましょう。掛け算と割り算を先に計算して、足し算と引き算を後から計算します。
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コーチ
ふふふ、これは簡単、簡単
頭で暗算しないで、しっかりと解くんだよ、計算ミス多いからね
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⑶ 文字式:割り算
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8a2b4÷(-3b)2
aとbを使った文字式。
これも教科書に載っているような基礎問題なので、確実に正解してほしいところ。
マイナスの二乗計算をしっかりできるように練習しておきましょう。
⑷ 文字式:代入
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6x-23 x=9の時
複雑な文字式ではないので、丁寧に1つ1つ計算して行きましょう。
たかが掛け算だからといって暗算せずに、しっかりと途中式を書くことでケアレスミスを減らすことができます。
⑸ 因数分解
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x2-4x-5を因数分解せよ
因数分解の問題の中でも簡単な基礎問題。
ただし、やり方が分からないと解けないので、練習問題でやり方を身につけておきましょう。
タスキがけや解の公式を使って因数分解していきます。
この問題は確かめ算ができるので、確実にやりましょう。
また、この問題は「解を求めよ」ではなく、「因数分解せよ」なので
(x+1)(x-5)
といった形で答えを書きます。
⑹ 連立方程式
イメージ
2x+4y=3
4x-y=2
連立方程式の基本問題。難易度は★2つにしているが、基礎中の基礎問題なので、確実に解きましょう。
解きかたとしては
- 代入法
- 加減法
この2つだけ、どちらで解いてもいいので好きな方を使いましょう。
連立方程式が苦手な人は代入法をオススメです。代入法を使うときは、途中式を丁寧に書いて計算ミスに気づくようにしましょう。
基本的には整数が答えになることが多いので、分数になってしまった時は注意しましょう。
この問題も確かめ算ができるので、確実に点をとる人は必ず確かめ算をしましょう。
⑺ 比例:y=ax
表を参考に比例の式を導き出す問題です。
比例と聞いてy=axを覚えている人にとっては、舐めたような問題です。必ず解きましょう。
惑わすために表を使っていますが、求めるのはy=axのaの値です。
1組のxとyの値が分かれば、aの値は秒で出ます。(x=0、y=0は除く)
aが分かれば、比例の式がわかる、そしたらそこに与えられた条件(例えばy=3の時など)を当てはめてあげれば自ずと答えは出てきます。
表が出てきたからって難しいわけではありません。落ち着いて与えられた条件と使う公式を考えましょう
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⑻ 表と割合
今回の問題では、グラフから値を読み取る必要があります。これは小学生で学んだ部分になります。
今回は
- 縦軸:生徒の数
- 横軸:計算テストの点数
そしてクラス全体の生徒数が与えられています。
グラフからは割合を求める対象を見極めて、それを全体で割り算すれば簡単に割合が出てきます。
縦軸と横軸を確認すること、求める対象と全体を見つけることがポイントになります。
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割合って聞くだけで難しいように見えるんだよね
そんなことないよ!割合は簡単なことを聞きなれない言葉で説明してるだけだから、毛嫌いしないでね
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⑼ 多角形:外角
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正十角形の外角を求めよ
これは計算問題というよりも知識問題ですね。
こちらの公式を使えば解けます。びっくりするほど簡単に
昔の人が計算を楽にするために、考えてくれたのが公式ってやつです。
正三角形の内角の和は180°、正四角形の内角の和は360°、これを覚えていれば逆算で公式が出てくるよ!
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⑽ おうぎ形の孤の長さ
公式さえ覚えていればサービス問題ですね。
これはイメージと一緒に覚えてしまえば、一発です。おうぎ型はちゃっと書いて与えられている条件を書き込みましょう。
11 ①・② 資料の活用
この問題は苦手な人が多いのですが、ちゃんと文章を読んで法則を式で表すことがポイントです。
さて今回の問題を読んでいくと
- 点ABCFEDで囲まれた格子点の数を求める
- 点Aの座標(n , 0)
- 点Dの座標(n+3 , 0)
- 点Cの座標(0 , n+2)
- 点Fの座標(0 , n+5)
- n=1、n=2の時の格子点の数(図1、2)
これだけの情報を読み取ることができます。
あとはnが増えていく時の法則を紐解いていくと、文章から関係式を導き出すことができます。
法則はどんなのがあるかな
- (法則1)nが増えても点C-F間の格子点の数(4つ)は変わらない
- (法則2)nが増えても点A-D間の格子点の数(4つ)は変わらない
- (法則3)nが増えると点F-E間の格子点の数が変わる
- (法則4)nが増えると点A-B間の格子点の数が変わる
はいはい、あとはnを使って格子点の数を表現していきましょう。
法則1と法則3より上の部分の格子点の数をnを使って表すと
4×(n+4) = 4n+16
法則2と法則4より下の部分の格子点の数をnを使って表すと
4×(n+2) = 4n+8
よって
格子点の数 = 4n+16+4n+8 = 8n+24
「n」は取りあえずの数なので、そこまで深く考えなくて大丈夫です。大切なのは文章から法則を導き出すことです
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nを使った格子点の数との関係式ができましたね。
ここまでが①で、②では格子点の数からnの値を求めるだけなので、①が正解した人にとっては本当にボーナス問題です。
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おぉ〜!①さえ解ければ②(5点問題)なんてすぐ解けるやん!
大問2
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 確率:サイコロ(4点) | ★ |
⑵ | 作図:垂線・円の半径(5点) | ★★ |
⑶ | 式の計算:線分図(4点) | ★★ |
⑷ | 空間図形(4点) | ★★★★ |
⑸ ① | 連立方程式(3点) | ★★ |
⑸ ② | 連立方程式(3点) | ★★ |
目安 | 正解すべき問題 |
---|---|
20〜40点 | ⑴ |
41〜60点 | ⑴、⑵、⑶ |
61〜80点 | ⑴、⑵、⑶、⑸ |
81〜100点 | ⑴、⑵、⑶、⑸ |
大問2は簡単な問題が多いです。中学校の定期テストとかで出るような問題がほとんどです。
ただし、⑷のような時間がかかり、比較的難しい問題も潜んでいるので注意する必要があります。
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わわ、、⑷なんて絶対に解ける自信がないな、、
⑷は無理に挑戦しなくていいんだよ、かなり難しいのに大問1の問題と同じ4点だからこれは「捨て問」と割り切ろう
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⑴ 確率:サイコロ
めちゃくちゃ簡単な確率問題です。
まず、大小のサイコロときたら表を作成します。(縦:1〜6、横:1〜6)
そして全体は
6×6 = 36通り
で、今回の条件は
大小のサイコロが同じ目になる時なので
1-1、2-2といった6通り
よって
6/36 = 1/6 通り
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なんだ、確率といってもめちゃくちゃ簡単だね
そうだね、確率の時は表もしくは樹形図を書いてしまえば一発だからね
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⑵ 作図:垂線・円の半径
はい、きました。みんな大好き作図。
直線と2点を使った作図ですね。基礎的な問題を2つ組み合わせたような問題です。
問題文に書いてある条件をしっかり読んで、どんな作図をすればいいのか確認していきましょう。
条件
- 直線の下側に点Pがあるよ
- 点Aと点Pを結んだ線APは直線Lに垂直
- 線分ABと線分BPは同じ長さ
さて、この条件で使う作図テクニックを考えると
この基本的な作図テクニックを2つ使って問題を解いていこう
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⑶ 式の計算:線分図
問題文から関係式を導き出す問題ですね。
線分図と言われる図を書いてしまえば、あとは小学生の時の知識だけでも関係式を出すことができます。
まずは問題文から条件を見ていきましょう
- 登場するのは「Sさん」「家」「学校」「始業時間」
- パターン1:速さ60m/分で歩いたら始業時間ぴったりに到着
- パターン2:速さ80m/分で歩いたら始業時間a分前に到着
- 知りたいのは「家から学校までの道のり」
こんな等式を作るよ
パターン1でかかった時間=パターン2でかかった時間+a分
x/60 = x/80 + a
両辺に240をかけると
4x = 3x + 240a
x = 240a [m]
はい、家から学校までの道のりをaを使った式で表すことができました。
問題文から頭でイメージするのではなく、線分図といった図を書くことで、頭をスッキリさせて問題に集中できるようになります
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⑷ 空間図形
捨て問と言いましたが、空間図形が得意な方ならそう難しい問題ではありません。
問題文のざっくりした条件は
- 底面が台形の四角柱
- 斜めにぶった切る
- ぶった切った立体の体積を求める
- 点Eを含む方の立体だよ
ポイントは斜めにぶった切った後の図形の形をどれだけイメージできるかどうか
ぶった切った立体は
三角柱と四角錐がくっついた立体になります。
ここまでくれば、底面積と高さが与えられているので、公式を使うだけで解くことができます。
4 × 4 ÷ 2 × 2 = 16
4 × 4 × 4 ÷ 3 = 64/3
よって
16 + 64/3 = 112/3 [m3]
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あれ?計算式自体はびっくりするくらい簡単だね
空間図形はどれだけ立体をイメージできるかがキモだからね。ここまでイメージできるところが難しいんだよ
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⑸ ①・② 連立方程式:文章
問題文から連立方程式を組み立てる問題です。
こういった問題はとにかく図にしてしまえば、びっくりするくらい単純になるよ
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さて問題文から条件をピックアップしていきましょう
- 登場するのは缶詰Aと缶詰B
- 注目するのは缶詰の重さ
- パターン1:缶詰Aが2個と缶詰Bが3個の時の重さは700g
- パターン2:缶詰Aが5個と缶詰Bが2個の時の重さは870g
- 缶詰Aの重さを x [g]
- 缶詰Bの重さを y [g]
ここまで書き出すと簡単に図にできますね。
パターン1
2x + 3y = 700・・・①
パターン2
5x + 2y = 870・・・②
①と②を加減法または代入法で連立方程式を解いていくと
x = 110 , y = 160
となる。
大問3
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 一次関数:傾き(5点) | ★ |
⑵ | 一次関数:応用(6点) | ★★★★ |
目安 | 正解すべき問題 |
---|---|
20〜40点 | ⑴ |
41〜60点 | ⑴ |
61〜80点 | ⑴ |
81〜100点 | ⑴、⑵ |
大問3は一次関数でしたね。配点は大きくありませんが、⑴の5点は5分程度で解答できるので、怖がらずに解いてしまいましょう。
大問3、4は基本的な問題と応用問題が含まれています。基本問題を確実に解けるようにしましょう
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⑴ 一次関数:傾き
2点から直線の傾きを求める基本的な問題ですね。
まずは、与えられた条件を1つ1つ整理していきましょう。
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わわ、難しそうな問題だなぁ
大丈夫だよ、⑴をしっかり解くために、問題文をちゃんと読もうね
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- 直線Lは一次関数のy=(1/2)x + 5
- 点Aの座標は(0,5)
- 点Bは直線L上にあり、x=12
- 点Pは常にy=0、x>0
⑴では、点Pはx=5と決められているので、点Pの座標は(5,0)となる。
よって、直線APの傾きは点Aから点Pまでの増加量を見れば出てきますので
yの増加量=-5(5→0)
xの増加量=5(0→5)
直線APの傾き=-5/5=-1
⑵ 一次関数:応用
途中の説明文まで書く問題。難易度はそこまで高くないが、時間と記述テクニックが必要となります。
問題は2つの三角形の面積比が1:4になる点Pの座標を求めるものです。
問題文から与えられた条件は
- 点Pのx座標をaとおくこと
これだけ。
ここから記述だけで解答を説明していきます。
- わかる座標を求める
- 面積なので底辺と高さをどこにするか決めて面積の式を作る
- 面積比を使ったaを含む等式を作る
- 等式を解く
問題文を読んで流れをイメージできる人は挑戦しよう!正確に早く記述を書く練習もしておこうね
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賢い犬
- STEP
座標を求める
問題文より点Pのx座標はaなので、
P(a,0)
また、点A、点B、点O(原点)の座標も求めると
A(0,5)、B(12,11)、O(0,0)
- STEP
面積の式
①△AOPの面積=S1
底辺をOP、高さをAOとすると
S1=OP×AO×1/2 = a×5×1/2=5a/2
②△APBの面積=S2
(この面積をどのように求めるかが少しヒラメキが必要ですね。ここでは△OABと△APBを足したものから△AOPを引いて面積を求めます)
S2=(△OAB+△APB)ー(△AOP)
=(AO × 点Bのx座標 × 1/2)+(OP × 点Bのy座標 × 1/2)ー S1
=(5 × 12 × 1/2)+(a × 11 × 1/2)- 5a/2
=30 + 3a
- STEP
面積比から等式を作る
△APB:△AOP=4:1なので
4△AOP=△APB
4S1=S2
4×5a/2=30+3a
7a=30
a=30/7
これは問題にあっています。
大問4
小問 | 単元(点数) | 難易度 |
---|---|---|
⑴ | 合同:証明(7点) | ★★★ |
⑵ ① | 平面図形:角度(5点) | ★ |
⑵ ② | 平面図形:面積(5点) | ★★★★ |
目安 | 正解すべき問題 |
---|---|
20〜40点 | ⑵ ① |
41〜60点 | ⑵ ① |
61〜80点 | ⑴、⑵ ① |
81〜100点 | 全問 |
最後の問題以外は比較的簡単な問題があるので、そこを見極めて点数を取りましょう。
特に、証明問題では部分点がもらいやすいので、証明の書き方を身につけておく必要があります。
最後の少し難しい問題の前に、角度の簡単な問題があるので、最初から無理と決めつけずに問題を読んで難易度が把握できるようになることが大切です。
大問4では、証明問題があるので時間配分が大切になります。
⑴ 合同の証明:平行四辺形
平面図形の中でも平行四辺形を使った問題ですね。
特に埼玉県ではよく見る図形を折り返した問題なので、ある意味オーソドックス。
証明問題は配点が7点と高めです。特に今回は、優しめ。
平行四辺形というわかりやすい性質を持った図形が対象で、合同条件もすでに書いてあります。
60点以上を目指す人はここは取らないといけない問題ですね。
ここら辺の性質を使えば簡単に証明できますね。
⑵ ① 平行四辺形:角度
この問題はめちゃくちゃ簡単。
△GCEの内角の和が180であることを考えれば、瞬殺。2分で終わる問題です。
⑵ ② 平行四辺形:面積(応用)
平行四辺形の面積と折り曲げた一部の面積が与えられています。
ここから⑴で合同を証明した△ABFの面積を求めていく問題です。
比を使うことがポイントですね。
与えられている条件は
- 平行四辺形ABCDの面積が168cm2
- △DEHの面積が30cm2
求めるのは△ABFの面積
こういった面積の問題は比を使えば比較的かんたんに解けますよ
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ではざっくりと解答していきます。
まずは、平行四辺形ABCDを半分に折り曲げているので
△ABC=△BCD=四角形ABCDの面積の半分=84
折り曲げた部分は面積が等しいので
△BCD=△BED=84
△BCDの一部の面積は条件で与えられているので
△BEH=△BEDー△DEH=84ー30=54
面積比を使って、BDの比を求めていく
△BEH:△DEH=54:30=9:5
BH:DH=9:5
ここでACとBDの交点を「I」(アイ)、ECとADの交点を「J」と置くと
錯角と対頂角より、3つの角がすべて等しいので
△BHC∽△DHJ=9:5
面積比は相似比の二乗に等しいので
△BHC:△DHJ=92:52=81:25
54:△DHJ=81:25
△DHJ=50/3
△EJD=△DEHー△DHJ=30ー50/3=40/3
次に△EFJを求めれば△EDFの面積がわかる
補助線で点Fと点Iに線分FIを引く
DH:HI=5:2なので、DJ:JF=5:2
△EJD:△EFJ=5:2
40/3:△EFJ=5:2
△EFJ=16/3
△ABFは△EDFと合同なので
△ABF=△EDF=△EJD+△EFJ=40/3+16/3=56/3 cm2
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わわわ、これはちょっと難しそうだ
長々と書いてるけど、解き方がわかれば計算自体は10分もかからないよ!
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考察まとめ
2019年2回目の北辰テストの数学について解説しました。