2019年第2回北辰テスト数学を徹底考察！

中学3年生になったばかりの中学生を対象としたものなので、中学1・2年の総復習として今の学力を見るのに最適なテストになります。

今までしっかり学習を積み上げてきた人とそうでない人でグッと差が出るよ

賢い犬

コーチ

中学2年分の範囲だからね、これは積み上げてないと大変だ

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数学の出題傾向

基本的な問題の大問１だけで５割近くの点数があります。

大問1の合計点数：49点

大問2の合計点数：23点

大問3の合計点数：11点

大問4の合計点数：17点

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大問１

大問1の合計点数：49点

時間配分の目安：10〜15分

確実に解ける問題を正解することが重要だよ

賢い犬

コーチ

目指す点数によって確実に正解すべき問題を教えるね

20〜60点を目指す人は解ける問題を見極めて、確実に正解するようにしましょう。

さらに上の点数を目指す人は、ここは全問正解が必須です。資料の読み取りを正確にできるように、慣れておく必要があります。

特に資料の読み取りでは、①が分かれば②はすぐに解けることが多いので、ある意味ボーナス問題です。

⑴　文字式（引き算）

教科書でも出てくるような基本的な問題。

みたいな基礎中の基礎問題なので、確実にとるようにしましょう。

⑵　四則演算

小学生でも解けるような問題。マイナスが付いているが計算は掛け算と足し算、引き算のみ。

マイナスの値があるので、気をつけましょう。掛け算と割り算を先に計算して、足し算と引き算を後から計算します。

コーチ

ふふふ、これは簡単、簡単

頭で暗算しないで、しっかりと解くんだよ、計算ミス多いからね

賢い犬

⑶　文字式：割り算

aとbを使った文字式。

これも教科書に載っているような基礎問題なので、確実に正解してほしいところ。

マイナスの二乗計算をしっかりできるように練習しておきましょう。

⑷　文字式：代入

複雑な文字式ではないので、丁寧に１つ１つ計算して行きましょう。

たかが掛け算だからといって暗算せずに、しっかりと途中式を書くことでケアレスミスを減らすことができます。

⑸　因数分解

因数分解の問題の中でも簡単な基礎問題。

ただし、やり方が分からないと解けないので、練習問題でやり方を身につけておきましょう。

タスキがけや解の公式を使って因数分解していきます。

この問題は確かめ算ができるので、確実にやりましょう。

また、この問題は「解を求めよ」ではなく、「因数分解せよ」なので

(x+1)(x-5)

といった形で答えを書きます。

⑹　連立方程式

連立方程式の基本問題。難易度は★２つにしているが、基礎中の基礎問題なので、確実に解きましょう。

解きかたとしては

この２つだけ、どちらで解いてもいいので好きな方を使いましょう。

連立方程式が苦手な人は代入法をオススメです。代入法を使うときは、途中式を丁寧に書いて計算ミスに気づくようにしましょう。

基本的には整数が答えになることが多いので、分数になってしまった時は注意しましょう。

この問題も確かめ算ができるので、確実に点をとる人は必ず確かめ算をしましょう。

⑺　比例：y=ax

比例の式　y=ax

表を参考に比例の式を導き出す問題です。

比例と聞いてy=axを覚えている人にとっては、舐めたような問題です。必ず解きましょう。

惑わすために表を使っていますが、求めるのはy=axのaの値です。

1組のxとyの値が分かれば、aの値は秒で出ます。（x=0、y=0は除く）

aが分かれば、比例の式がわかる、そしたらそこに与えられた条件（例えばy=3の時など）を当てはめてあげれば自ずと答えは出てきます。

表が出てきたからって難しいわけではありません。落ち着いて与えられた条件と使う公式を考えましょう

賢い犬

⑻　表と割合

割合=（割合を求める対象）÷（全体）

今回の問題では、グラフから値を読み取る必要があります。これは小学生で学んだ部分になります。

今回は

そしてクラス全体の生徒数が与えられています。

グラフからは割合を求める対象を見極めて、それを全体で割り算すれば簡単に割合が出てきます。

縦軸と横軸を確認すること、求める対象と全体を見つけることがポイントになります。

コーチ

割合って聞くだけで難しいように見えるんだよね

そんなことないよ！割合は簡単なことを聞きなれない言葉で説明してるだけだから、毛嫌いしないでね

賢い犬

⑼　多角形：外角

これは計算問題というよりも知識問題ですね。

こちらの公式を使えば解けます。びっくりするほど簡単に

正N角形の内角：180(N-2)°÷N

内角と外角：内角＋外角＝180°

昔の人が計算を楽にするために、考えてくれたのが公式ってやつです。

正三角形の内角の和は180°、正四角形の内角の和は360°、これを覚えていれば逆算で公式が出てくるよ！

賢い犬

⑽　おうぎ形の孤の長さ

公式さえ覚えていればサービス問題ですね。

孤の長さ＝ 2 × π × 半径 × 中心角 ÷ 360

これはイメージと一緒に覚えてしまえば、一発です。おうぎ型はちゃっと書いて与えられている条件を書き込みましょう。

11 ①・②　資料の活用

この問題は苦手な人が多いのですが、ちゃんと文章を読んで法則を式で表すことがポイントです。

さて今回の問題を読んでいくと

これだけの情報を読み取ることができます。

あとはnが増えていく時の法則を紐解いていくと、文章から関係式を導き出すことができます。

法則はどんなのがあるかな

はいはい、あとはnを使って格子点の数を表現していきましょう。

法則１と法則３より上の部分の格子点の数をnを使って表すと

4×(n+4) = 4n+16

法則２と法則４より下の部分の格子点の数をnを使って表すと

4×(n+2) = 4n+8

よって

格子点の数 = 4n+16+4n+8 = 8n+24

「n」は取りあえずの数なので、そこまで深く考えなくて大丈夫です。大切なのは文章から法則を導き出すことです

賢い犬

nを使った格子点の数との関係式ができましたね。

ここまでが①で、②では格子点の数からnの値を求めるだけなので、①が正解した人にとっては本当にボーナス問題です。

コーチ

おぉ〜！①さえ解ければ②（5点問題）なんてすぐ解けるやん！

大問２

大問2の合計点数：23点

時間配分の目安：15〜20分

大問２は簡単な問題が多いです。中学校の定期テストとかで出るような問題がほとんどです。

ただし、⑷のような時間がかかり、比較的難しい問題も潜んでいるので注意する必要があります。

コーチ

わわ、、⑷なんて絶対に解ける自信がないな、、

⑷は無理に挑戦しなくていいんだよ、かなり難しいのに大問１の問題と同じ4点だからこれは「捨て問」と割り切ろう

賢い犬

⑴　確率：サイコロ

めちゃくちゃ簡単な確率問題です。

大小のサイコロ→表で一発

確率 =（条件に当てはまる回数）÷（全体）

まず、大小のサイコロときたら表を作成します。（縦：１〜６、横：１〜６）

そして全体は

6×6 = 36通り

で、今回の条件は

大小のサイコロが同じ目になる時なので

1-1、2-2といった6通り

よって

6/36 = 1/6 通り

コーチ

なんだ、確率といってもめちゃくちゃ簡単だね

そうだね、確率の時は表もしくは樹形図を書いてしまえば一発だからね

賢い犬

⑵　作図：垂線・円の半径

はい、きました。みんな大好き作図。

直線と2点を使った作図ですね。基礎的な問題を2つ組み合わせたような問題です。

問題文に書いてある条件をしっかり読んで、どんな作図をすればいいのか確認していきましょう。

条件

さて、この条件で使う作図テクニックを考えると

垂線を引く作図

同じ円の半径はどこでも等しい関係を使った作図

この基本的な作図テクニックを2つ使って問題を解いていこう

賢い犬

⑶　式の計算：線分図

問題文から関係式を導き出す問題ですね。

線分図と言われる図を書いてしまえば、あとは小学生の時の知識だけでも関係式を出すことができます。

まずは問題文から条件を見ていきましょう

家から学校までの道のりを x [m]と自分で置く

時間に着目して等式（何とか＝何とか的な式）を考える

こんな等式を作るよ

パターン１でかかった時間＝パターン２でかかった時間＋a分

x/60 = x/80 + a

両辺に240をかけると

4x = 3x + 240a

x = 240a [m]

はい、家から学校までの道のりをaを使った式で表すことができました。

問題文から頭でイメージするのではなく、線分図といった図を書くことで、頭をスッキリさせて問題に集中できるようになります

賢い犬

⑷　空間図形

捨て問と言いましたが、空間図形が得意な方ならそう難しい問題ではありません。

問題文のざっくりした条件は

ポイントは斜めにぶった切った後の図形の形をどれだけイメージできるかどうか

ぶった切った立体は

三角柱と四角錐がくっついた立体になります。

ここまでくれば、底面積と高さが与えられているので、公式を使うだけで解くことができます。

三角柱の体積 = 底面積（三角形の面積） × 高さ

4 × 4 ÷ 2 × 2 = 16

四角錐の体積 = 底面積（四角形の面積）× 高さ ÷ 3

4 × 4 × 4 ÷ 3 = 64/3

よって

16 + 64/3 = 112/3 [m³]

コーチ

あれ？計算式自体はびっくりするくらい簡単だね

空間図形はどれだけ立体をイメージできるかがキモだからね。ここまでイメージできるところが難しいんだよ

賢い犬

⑸ ①・②　連立方程式：文章

問題文から連立方程式を組み立てる問題です。

問題文を図にする

こういった問題はとにかく図にしてしまえば、びっくりするくらい単純になるよ

賢い犬

さて問題文から条件をピックアップしていきましょう

ここまで書き出すと簡単に図にできますね。

パターン１

2x + 3y = 700・・・①

パターン２

5x + 2y = 870・・・②

①と②を加減法または代入法で連立方程式を解いていくと

x = 110 , y = 160

となる。

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大問３

大問3の合計点数：11点

時間配分の目安：10〜15分

大問３は一次関数でしたね。配点は大きくありませんが、⑴の5点は5分程度で解答できるので、怖がらずに解いてしまいましょう。

大問３、４は基本的な問題と応用問題が含まれています。基本問題を確実に解けるようにしましょう

賢い犬

⑴　一次関数：傾き

2点から直線の傾きを求める基本的な問題ですね。

まずは、与えられた条件を１つ１つ整理していきましょう。

傾き＝yの増加量 ÷ xの増加量

コーチ

わわ、難しそうな問題だなぁ

大丈夫だよ、⑴をしっかり解くために、問題文をちゃんと読もうね

賢い犬

⑴では、点Pはx=5と決められているので、点Pの座標は（5,0）となる。

よって、直線APの傾きは点Aから点Pまでの増加量を見れば出てきますので

yの増加量＝-5（5→0）

xの増加量＝5（0→5）

直線APの傾き＝-5/5＝-1

傾きは2点が分かれば秒で出ます。

⑵　一次関数：応用

途中の説明文まで書く問題。難易度はそこまで高くないが、時間と記述テクニックが必要となります。

問題は２つの三角形の面積比が１：４になる点Pの座標を求めるものです。

問題文から与えられた条件は

これだけ。

ここから記述だけで解答を説明していきます。

問題文を読んで流れをイメージできる人は挑戦しよう！正確に早く記述を書く練習もしておこうね

賢い犬

1. STEP

   座標を求める

   問題文より点Pのx座標はaなので、

   P（a,0）

   また、点A、点B、点O（原点）の座標も求めると

   A（0,5）、B（12,11）、O（0,0）

2. STEP

   面積の式

   ①△AOPの面積＝S₁

   底辺をOP、高さをAOとすると

   S₁＝OP×AO×1/2 = a×5×1/2=5a/2

   ②△APBの面積＝S₂

   （この面積をどのように求めるかが少しヒラメキが必要ですね。ここでは△OABと△APBを足したものから△AOPを引いて面積を求めます）

   S₂＝（△OAB＋△APB）ー（△AOP）

   　＝（AO × 点Bのx座標 × 1/2）＋（OP × 点Bのy座標 × 1/2）ー S₁

   　＝（5 × 12 × 1/2）＋（a × 11 × 1/2）- 5a/2

   　＝30 + 3a

3. STEP

   面積比から等式を作る

   △APB：△AOP＝４：１なので

   4△AOP＝△APB

   4S₁=S₂

   4×5a/2=30+3a

   7a=30

   a=30/7

   これは問題にあっています。

大問４

大問4の合計点数：17点

時間配分の目安：15〜20分

最後の問題以外は比較的簡単な問題があるので、そこを見極めて点数を取りましょう。

特に、証明問題では部分点がもらいやすいので、証明の書き方を身につけておく必要があります。

最後の少し難しい問題の前に、角度の簡単な問題があるので、最初から無理と決めつけずに問題を読んで難易度が把握できるようになることが大切です。

大問４では、証明問題があるので時間配分が大切になります。

⑴　合同の証明：平行四辺形

平面図形の中でも平行四辺形を使った問題ですね。

特に埼玉県ではよく見る図形を折り返した問題なので、ある意味オーソドックス。

証明問題は配点が7点と高めです。特に今回は、優しめ。

平行四辺形というわかりやすい性質を持った図形が対象で、合同条件もすでに書いてあります。

60点以上を目指す人はここは取らないといけない問題ですね。

平行四辺形の向かい合う辺は等しい

平行四辺形の向かい合う角は等しい

対頂角は等しい

三角形の内角の和は180°

ここら辺の性質を使えば簡単に証明できますね。

⑵ ①　平行四辺形：角度

この問題はめちゃくちゃ簡単。

△GCEの内角の和が180であることを考えれば、瞬殺。2分で終わる問題です。

⑵ ②　平行四辺形：面積（応用）

平行四辺形の面積と折り曲げた一部の面積が与えられています。

ここから⑴で合同を証明した△ABFの面積を求めていく問題です。

比を使うことがポイントですね。

与えられている条件は

求めるのは△ABFの面積

こういった面積の問題は比を使えば比較的かんたんに解けますよ

賢い犬

底辺（または高さ）の比＝面積比

相似比＝面積比²

ではざっくりと解答していきます。

コーチ

わわわ、これはちょっと難しそうだ

長々と書いてるけど、解き方がわかれば計算自体は10分もかからないよ！

賢い犬

＼ 最高にかっこいいシャープペンを使おう ／

＼ 圧倒的に消える消しゴムを使おう ／

考察まとめ

2019年2回目の北辰テストの数学について解説しました。

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